Простые проценты применяются в ссудозаемных финансовых операциях продолжительностью до одного года. При использовании этой схемы начисление процентов осуществляется однократно с учетом неизменной базы расчета. Для исчисления применяет следующая :
FV=CFo×(1+n×r) ,
где FV –будущая стоимость денежных средств,
r – процентная ставка,
n – срок начисления.
В том случае, когда продолжительность ссудозаемной операции меньше календарного года, то для расчета используется следующая формула:
FV=CFo×(1+t/T×r),
где t – продолжительность операции в днях,
Т – общее количество дней в году
Расчет сложных процентов
При использовании сложной ставки годовой доход в каждом периоде рассчитывается не с исходной суммы вклада, а с общей накопленной суммы, включающей также начисленные ранее проценты. Таким образом, по мере начисления процентов происходит капитализация процентов.
Предположим, вкладчик разместил на депозит в банке 1000 рублей под 6% годовых. Определите, какая сумма будет за два года, если проценты начисляются по сложной схеме
Процентный доход = ставка процента×первоначальные вложения = 1000×0,06=60 рублей
Таким образом, к концу 1-го года на депозите будет накоплена сумма:
FV1=1000+60=1060 рублей=1000×(1+0,06)
Если не снимать деньги со счета, а оставить их до следующего года, то в конце 2-го года на счете будет накоплена сумма:
FV2=FV1 ×(1+r)=CVo×(1+r)×(1+r)=CVo×(1+r)^2 =1060×(1+0,06)=1000×(1+0,06)×(1+0,06)=1123,6 рублей
Для расчета сложных процентов применяется следующая формула:
FVn=CVo×FVIF(r,n)=CVo×(1+r)^n
Множитель наращения сложных процентов FVIF (r,n) показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при определенной процентной ставке r.
На практике очень часто для предварительной оценки эффективности процентной ставки рассчитывают период времени, необходимый для увеличения первоначального вклада вдвое. Число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится, составляет 72/r. Например, при ставке 9 % годовых первоначальный капитал удвоится приблизительно за 8 лет.
Сравнение простой и сложной схем начисления процентов
Для сравнения разных схем начисления процентов необходимо как множители наращения изменяются при различных значениях показателя n.
Если n = 1, то (1+n×r) = (1+r)^n .
Если n > 1, то (1+n×r) < (1+r)^n .
Если 0 < n <1, то (1+n×r) > (1+r)^n .
Таким образом, если срок ссуды составляет менее 1 года, то для кредитора выгодно использовать схему простых процентов. Если период начисления процентов равен 1 году, то результаты по обеим схемам совпадут.
Частные случаи начисления процентов
В современной банковской практике иногда встречаются контакты, которые заключаются на срок, отличающийся от целого числа лет. В этом случае могут использоваться два варианта начисления:
1) по схеме сложных процентов
FVn=CFo×(1+r)^w+f;
2) по смешанной схеме
FVn=CFo×(1+r)^w×(1+f×r),
где w – целое число лет,
f – дробная часть года.
Предположим, вкладчик разместил на депозит 40000 рублей на срок 2 года 6 месяцев под 10% годовых, проценты начисляются ежегодно. Сколько получит вкладчик, если банк начисляет проценты по сложной или по смешанной схеме.
1) Расчет по сложной схеме начисления:
40000×(1+0,1)^2,5=50762, 3 руб.
2) Расчет по смешанной схеме начисления:
40000×(1+0,1)^2×(1+0,5×0,1)=50820 руб.
По некоторым вкладам начисление процентов происходит чаще, чем один раз в год. В таких случаях применяется следующая формула:
FVn=CFo ×(1+r/m)^m×n ,
где m – количество начислений в году.
Определите будущую стоимость 7000 рублей, инвестированных на 3 года, под 7 % годовых, если проценты начисляются ежеквартально?
FV3=7000 ×(1+0,07/4)^3×4 = 8620,1 руб.
Обратите внимание, что при заключении договора на вклад в банке необходимо помнить, что чаще всего в документах не используется термины «простые» или «сложные» проценты. Для обозначения простой схемы начисления в договоре может быть указана фраза «проценты по вкладу начисляются в конце срока». А при использовании сложной схемы, в договоре может быть указано, что проценты начисляются раз в год, квартал или месяц.
При желании накопить немного денег или грамотно инвестировать уже имеющиеся накопления, одной из обязательных для изучения тем является формула простых процентов, сложных и принципов их исчисления. Они являются основным показателем выгодности вложений.
В сфере экономики и финансов процедуру вычисления этих показателей принято различать. Специалисты банковского дела подразумевают под сложным процентом термин капитализации, а специалисты по инвестированию – реинвестирования.
Определение простых и сложных процентов
Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.
Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.
Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.
Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.
Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу
Пример расчета
Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.
Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.
Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.
Способы расчета
Дискретное начисление дохода основывается на принципе долгового заимствования средств банком у физических лиц под определенный размер вознаграждения. Величина такого дохода будет зависеть от схемы его начисления и величины базового капитала. Конечно, схема сложных процентов на первый взгляд принесет большую выручку, но стоит изучить все тонкости системы.
Доходность при начислении простых процентов является фиксированной
Расчет простой процентной ставки
Разумеется, процесс начисления простых процентов намного проще. Сумма высчитывается всего один раз и не меняется в течение срока хранения вклада в банке.
Обычно договор на банковское обслуживание оговаривает размер процентной ставки за год. Если по каким-либо причинам нужно узнать ее размер за период в один месяц, нужно применить формулу: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty) , где:
- Fv – размер величины простых процентов;
- Sv – базовая сумма вклада;
- R – годовая процентная ставка;
- Td – срок действия депозита в днях;
- Ty – количество дней в году.
Для вкладов с пополнением и снятием средств расчет осуществляется отдельно для каждого периода хранения разных сумм на депозите. Иными словами, если клиент положил начальную сумму на счет, потом пополнил счет, а потом снял с него часть средств, то расчет будет состоять из трех этапов. Для каждого временного отрезка и для каждого объема денежных средств.
Расчет сложной процентной ставки
Стремясь к получению большей выгоды, держатели депозитов все чаще интересуются вопросом, как рассчитать сложный процент по вкладу . Для более наглядного описания, процесс капитализации средств можно представить так: по окончанию расчетного периода клиента банка закрывает депозит и снимает все накопленные средства (базис + набежавшие проценты). А потом кладет их еще на один расчетный период обратно в банк. Таким образом, начисление процентной ставки будет осуществляться уже на увеличенный базисный капитал.
Формула сложных процентов по кладу выглядит следующим образом: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd , где:
- Fv – конечная сумма выгоды;
- Sv – базовая сумма депозита;
- R – процентная ставка в год;
- Ny – число временных отрезков капитализации средств за год;
- Nd – число временных отрезков капитализации в течение всего срока депозита.
Для определения временного отрезка капитализации банк использует равные промежутки: месяц, квартал или год. По истечении каждого отсчетного промежутка на текущую величину вклада начисляются процентные бонусы.
Начисление сложных процентов осуществляется в каждый установленный период расчета
Наиболее интересные варианты по годовым процентным ставкам предоставляются следующими программами инвестирования:
- облигации федерального займа – государственные облигации, годовая ставка 5%;
- стандартный депозитный вклад – ставка 10%;
- сборный портфель из облигаций и акций – ставка 15%;
- сборный портфель из ценных бумаг биржи – ставка 20%.
Интересно, что при составлении договора на обслуживание банком депозитного счета в формулировках не используется определение простого и сложного процента. Если доходность рассчитывается по схеме простой процентной ставки, то это указывается как «начисление процентов по окончанию срока депозита». Если по схеме сложной процентной ставки, то как «начисление процентов по окончанию расчетного периода» или «с учетом капитализации средств».
Какая схема более выгодна
На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?
Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.
На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.
Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов. Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход.
О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.
В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где
- Fv — итоговая сумма;
- Sv — начальная сумма;
- Td — срок вклада в днях;
- Ty — количество дней в году.
Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.
Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:
Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где
- Fv — итоговая сумма;
- Sv — начальная сумма;
- R — годовая процентная ставка;
- Ny — количество периодов капитализации в году;
- Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.
Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.
Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.
Какие вклады выгоднее?
Из самой сущности сложных процентов
следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные - те же: сумма 10 000 руб., ставка - 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.
Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.
Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 - 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.
Простые и сложные проценты: типы начисления процентов у банковских вкладов
Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".
Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.
Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.
Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.
Примеры расчета простого и сложного процента
Формула простых и сложных процентов на малом периоде имеет незначительную разницу. Рассмотрим примеры.
Простой
Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.
Сложный
Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.
Подробнее о сложном проценте
Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:
S - сумма, которую вы снимете в конце
B - базовая сумма
Pr - процентная ставка
n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)
Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.
Задача №1
Дано:- банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
- процентная ставка 8% годовых
- срок 4 года
- присутствует ежегодная капитализация процентов
В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.
Задача №2
Дано:- банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
- процентная ставка 8% годовых
- период 4 года
- ежемесячная капитализация
- конечную результирующую сумму (доход + %)
В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:
Выводы
При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.
Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.
Формула сложного процента на примере реального банковского вклада
Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.
Ставка процентов представляется как
g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году
Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:
Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.
Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени
Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.
Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.
Как поможет сложный процент в построении капитала?
Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.
Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.
Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:
- 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
- 10% - самый щедрый банковский вклад
- 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
- 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.
Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.
Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.
А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.
Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.
Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.
Вспомогательные формулы
Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.
Задача №1
Дано:- у вас есть 60 тыс. рублей
- вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
- у вас есть срок 15 лет
- под какую процентную ставку нужно вложить деньги?
Расчет:
Ответ равен 10,03 процентам
Задача №2
Дано:- у вас есть 50 тыс. рублей
- вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
- вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых
- сколько потребуется для этого времени в годах?
Расчет:
Ответ: 8,9 лет.
Заключение
Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.
Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.
Смысл простой схемы начисления процентов в том, что проценты начисляются все время на первоначальную сумму вклада независимо от срока вклада. В этом случае наращенная сумма находится по формуле
,
,
т.е.
Пусть
,
т. е. в течение срока
,
затем в течение срока
– по ставке
Пусть сумма
вклада
меняется
во времени
,
т. е. в течение срока вклада на счет
поступают (снимаются) суммы в размере
,
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
где
до момента окончания вклада,
до момента окончания вклада.
На практике для вычисления процентов часто определяют процентное число и процентный ключ (дивизор) . Если ставку i измерять в процентах, то
I
=
Процентным числом назовем величину Р t / 100,
а процентным ключом – К / i .
С учетом последних двух формул сумма процентных денег может быть рассчитана так:
I
=
.
Пусть происходит
реинвестирование
по простой ставке
,
т. е. наращенная сумма к концу срока
становится базой для расчета процентов
на срок
,
сумма, наращенная к концу этого срока,
становится базой для расчета процентов
на срок
и т. д. Тогда наращенная сумма к концу
всего срока вклада находится по формуле:
Начисление по схеме сложных процентов
Смысл сложной схемы начисления процентов в том, что процентные деньги, начисленные после периода начисления (обычно, года), присоединяются к первоначальной сумме. Полученная сумма является базой для начисления процентов в следующем периоде. Таким образом, база для начисления сложных процентов, в отличие от простых процентов, увеличивается с каждым периодом начисления.
Если период начисления Т – целое число лет, то наращенная сумма находится по формуле:
Если срок вклада Т не является целым числом, то наращенная сумма может быть найдена по схемам:
– обыкновенной:
– смешанной: Т представляется в виде суммы целого числа лет и оставшейся нецелой части года Т= Т цел + Т дроб , и наращенная сумма равна
Например, сумма в размере 100 тыс. руб. помещена в банк сроком на 27 месяцев под 12% годовых.
Наращенная сумма, рассчитанная по обыкновенной схеме, составляет:
129,045 тыс. руб.
Поскольку 27 месяцев – это 2 года плюс 3 месяца, то Т цел =2, Т дроб =3/12=1/4=0,25, то наращенная сумма, рассчитанная по смешанной схеме, равна:
129,203 тыс. руб.
Пусть процентная
ставка меняется во времени
,
т. е. в течение срока
проценты начисляются по ставке
,
затем в течение срока
– по ставке
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
Номинальная и эффективная ставка процента
Номинальная годовая ставка i – это исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Номинальная ставка может начисляться один раз в год. Тогда наращенная сумма равна
Если же номинальная ставка начисляется несколько раз в год, то наращенная сумма находится по формуле
где
– срок вклада (в годах),
–
число начислений процентов в год.
Например, если первоначальный размер вклада равен 100 тыс. руб., а номинальная ставка 12% годовых начисляется раз в год, то наращенная сумма через 2 года составит:
тыс. руб.,
а при ежеквартальном начислении процентов наращенная сумма равна:
=126,677
тыс. руб.
Эффективная
ставка
– это ставка, измеряющая реальный доход,
получаемый при
-кратном
начислении процентов в год. Таким
образом, выполняется равенство
и эффективная ставка может быть найдена по формуле
.
Пусть сумма
вклада
меняется
во времени
,
т. е. на счет поступают суммы в размере
(первоначальный взнос),
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
где
– это срок с момента поступления (снятия)
суммы
до момента окончания вклада,
–
срок с момента поступления (снятия)
суммы
до момента окончания вклада.
Рассмотрим частный случай – начисление сложных процентов при регулярных взносах. Такое поступление денежных средств называется финансовой рентой с постоянными членами , а наращенная сумма всех взносов – наращенной суммой ренты.
Пусть на счет регулярно вносятся одинаковые суммы через одинаковые периоды времени (раз в год).
Введем обозначения:
R – размер ежегодного платежа;
n – число лет, в течение которых поступают взносы.
Если выплаты производятся в конце года (рента постнумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле
Если выплаты производятся в начале года (рента пренумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле